01任務簡報
Vector 通報：
Roy，第七週你解決了基本的方程式應用題。
今天是最終衝刺——
方程式應用問題的完整題型庫。
工程問題、百分比問題、混合問題、速度問題——
這些是段考最常出現的應用題型。
每種題型都有它的解題框架，
今天一次全部解鎖。
開學前把這五種題型打通，
第一次段考的應用題就穩了。
今天的目標：
- 掌握工程問題的解題框架
- 掌握百分比和折扣問題的解題策略
- 掌握混合問題（兩種物品/濃度）的列式方法
- 掌握速度時間距離問題（追及/相遇）
- 能識別題型並選用正確的解題框架
02今日學習來源
03觀看前任務 / 戰前情報
看課程之前，先想想這三個問題，寫在筆記本上：
04核心技能解鎖
如果某人完成一件工作需要 n 天，則他每天完成 1/n 的工作
合作時：各人每天完成的工作量相加 = 每天合作完成的工作量
方程式：各人每天工作量之和 × x = 1（整件工作）
方程式：(1/6 + 1/12) × x = 1
(2/12 + 1/12) × x = 1 → (1/4) × x = 1 → x = 4
答：合作需要 4 天。
設乙獨做需 x 天：甲在 4 天完成 4/10 = 2/5
2/5 + 4/x = 1 → 4/x = 3/5 → x = 20/3 = 6 又 2/3 天
工程問題不是把天數相加，而是把每個人的每日工作率相加，再乘上合作天數。
記憶提示每天工作率相加，乘合作天數等於 1。
| 文字 | 乘數 | 文字 | 乘數 |
|---|---|---|---|
| 打八折 | × 0.8 | 打七五折 | × 0.75 |
| 漲價 20% | × 1.2 | 降價 15% | × 0.85 |
| 比原價貴 n% | × (1 + n%) | 比原價便宜 n% | × (1 − n%) |
或設現價為 x → 原價用 x 除以倍數表示
答：原價 900 元。
答：原價 300 元。
百分比題要先把文字轉成乘數，打八折是乘 0.8，漲價 20% 是乘 1.2。
記憶提示折扣先變小數，原價通常設 x。
另一種用「總數 − x」表示
建立「金額」或「重量/濃度」的方程式
方程式：5x + 3(18 − x) = 74
5x + 54 − 3x = 74 → 2x = 20 → x = 10
答：蘋果 10 個，橘子 8 個。驗算：5(10) + 3(8) = 74 ✓
混合問題常設一種物品數量為 x，另一種用總數 − x 表示，再用金額、重量或濃度列式。
記憶提示看到兩種物品，就想 x 和總數 − x。
例題：甲乙相距 90 公里，同時出發相向，甲速 5 公里/時，乙速 4 公里/時：
5t + 4t = 90 → t = 10，答：10 小時後相遇。
不同時出發：v快 × t = v慢 × (t + 先出發時間)
例題：甲先出發 2 小時，速 4 公里/時，乙再出發，速 7 公里/時：
設乙出發後 t 小時追上：
7t = 4(t + 2) → 7t = 4t + 8 → 3t = 8 → t = 8/3 = 2 又 2/3 小時
答：乙出發後 2 小時 40 分鐘追上甲。
速度問題先分辨相遇或追及；相遇看速度相加，追及要注意誰先出發與各自走了多久。
記憶提示相遇速度相加，追及時間分開設。
| 關鍵詞 | 題型 | 核心變量 |
|---|---|---|
| 幾天完成、合作、獨做 | 工程問題 | 工作率（1/天數） |
| 打幾折、漲價%、降價%、原價/售價 | 百分比問題 | 原價 × 比率 = 現價 |
| 兩種物品、數量和金額 | 混合問題 | 設一種數量，另一種用差表示 |
| 相向、相遇、追及、速度 | 速度問題 | 路程 = 速 × 時 |
| 年齡、幾年後/幾年前 | 年齡問題 | 所有人同加/同減相同年數 |
| 連續整數/偶數/奇數 | 整數問題 | x, x+1, x+2 或 x, x+2, x+4 |
2. 找清楚題目中的「相等關係」
3. 把各個量用 x 表示
4. 列方程式，解，驗算
應用題先看關鍵詞，判斷是工程、百分比、混合、速度、年齡或連續整數，再選對公式。
記憶提示先分類，再列式。
05補給卡
百分比：打八折 = ×0.8 | 漲20% = ×1.2 | 降15% = ×0.85
混合問題：設一種為 x，另一種為（總數−x），用金額或重量建立等式
相遇問題：(v₁+v₂)×t = d（同時出發相向）
追及問題：v快×t = v慢×(t+先出發時間)（不同時出發）
題型識別：幾天完成→工程 | 打折漲價→百分比 | 兩種物品→混合 | 相遇追及→速度
整理本課五種常見應用題：工程、百分比、混合、相遇與追及，看到關鍵詞就能快速選公式。
記憶提示先找關鍵詞，選題型，套公式，帶數計算。
06任務演練
題目：水管 A 單獨注水需要 8 小時，水管 B 單獨注水需要 12 小時，兩管同時注水需要幾小時注滿水槽？
題目：一家書店舉行八折優惠，Roy 購買一本書後發現比原價少付了 60 元，這本書的原價是多少？
題目：Roy 買了總重量 600 克的堅果，腰果每 100 克 80 元，杏仁每 100 克 50 元，共花了 390 元，腰果和杏仁各買了多少克？
題目：甲乙兩人從 A、B 兩地同時出發相向而行，A、B 兩地相距 84 公里。甲的速度是乙的 1.5 倍，2 小時後兩人相遇，求甲乙各自的速度。
07新手訓練場 5 關
從簡單到複雜，逐關完成，每題都要寫過程。
1. 甲獨做需 10 天，乙獨做需 15 天，合作需幾天完成？
設合作需 x 天，方程式：
答：
2. 一項工程，甲乙合作 6 天完成，甲獨做需要 10 天，乙獨做需要幾天？
設乙獨做需 x 天，方程式：
答：
3. 水管 A 注滿水槽需 4 小時，水管 B 排空水槽需 6 小時，水槽空時同時開啟 A 注水 B 排水，幾小時後注滿？
（提示：A 每小時 +1/4，B 每小時 −1/6，淨增加 = 1/4 − 1/6）
方程式：
答：
1. 一件衣服打七折後售價 420 元，原價多少？
設原價 x 元，方程式：
答：原價 元
2. 去年某商品售價 200 元，今年漲價 15%，現在售價多少？
計算：
答：售價 元
3. 某商品先漲價 20% 再打八折，最終售價比原價高還是低？高或低多少百分比？
（提示：設原價 x，依序計算）
漲價後： x，打八折後： x
答：比原價 （高/低） %
1. Roy 用 100 元買了蘋果和香蕉共 12 個，蘋果 10 元/個，香蕉 6 元/個，各買了幾個？
設蘋果 x 個，方程式：
答：蘋果 個，香蕉 個
2. 將 5% 鹽水和 10% 鹽水混合，得到 200 克的 8% 鹽水，各用了多少克？
（提示：設 5% 鹽水 x 克，10% 鹽水 (200−x) 克，鹽的重量相等）
方程式：0.05x + 0.10(200−x) =
答：5% 鹽水 克，10% 鹽水 克
1. 甲乙從同一地點同時出發相向而行，甲速 3 公里/時，乙速 5 公里/時，2 小時後兩人相距 16 公里，問他們出發地的距離？
（提示：兩人是否走錯方向？還是正確相向？）
答：
2. 甲先出發以 4 公里/時行走，1 小時後乙從同地出發以 6 公里/時追趕，乙幾小時後追上甲？
設乙出發後 t 小時追上，方程式：
答：t = 小時
3. 甲乙從 A、B 兩地同時出發，甲速 60 公里/時，乙速 40 公里/時，1 小時後甲乙相距 10 公里（尚未相遇），A、B 兩地相距多少公里？
答：A、B 兩地相距 公里
題型： 設法：設注滿需 x 小時
題型： 設法：設定價 x 元
題型： 設法：設用完需 x 天
08 BOSSBoss 關卡
1. 工程：印刷廠甲機每小時印 500 張，乙機每小時印 300 張，一批書共 4800 張，兩機合印需幾小時？若乙機先印 2 小時後甲機加入，共需幾小時完成？
第一問：合印時間 = 小時
第二問：設甲加入後再需 x 小時，方程式：
解：x = ，總時間 =
2. 百分比：一件商品先漲價 25%，再打八折出售，最終售價是 800 元，原來的定價是多少？
方程式：
答：原價 元
3. 混合：有甲乙兩種糖果，甲每袋 20 元，乙每袋 15 元，Roy 共買了 10 袋，花了 170 元，甲乙各買了幾袋？
方程式：
答：甲 袋，乙 袋
4. 速度：甲從 A 城出發以 60 公里/時開車前往 B 城，出發 30 分鐘後，乙從 A 城出發以 90 公里/時追趕，乙需要多少分鐘追上甲？
設乙出發後 x 小時追上，甲走了 (x + 0.5) 小時，乙走了 x 小時
方程式：
解：x = 小時 = 分鐘
1. A 組和 B 組各有幾人？
設 B 組 x 人，方程式：
答：A 組 人，B 組 人
2. 如果 A 組的裝飾材料打九折，B 組的食材漲價 10%，總費用變為多少？
A 組費用： 元，B 組費用： 元
答：總費用 元
3. 在第 2 小題的情況下，班費預算不夠，需要多募多少錢？
答：需再募 元
判斷： 理由：
判斷： 理由（用計算說明）：
判斷： 理由：
09錯題回收
應用題最容易踩的四個雷，做題前先看一遍：
本課最容易錯的是工程問題天數相加、百分比乘法方向錯、追及問題時間設錯，以及混合問題把比率和數量混淆。
記憶提示先判題型，再列式。
錯誤：甲 6 天乙 12 天，合作天數 = 6+12 = 18 或 (6+12)/2 = 9（完全錯誤）
正確：(1/6 + 1/12) × x = 1，x = 4
補救：每天工作率相加，不是天數相加
工程問題要先把天數換成每天工作率，再把工作率相加；不能直接把天數相加或平均。
記憶提示天數變工作率，工作率才相加。
「打八折」不是「乘以 8」，而是「乘以 0.8」
「漲價 20%」不是「乘以 20」，而是「乘以 1.2」
補救：打折/百分比一定要先轉換成小數（0.x 或 1.x）再列式
打八折是乘 0.8，漲價 20% 是乘 1.2，降價 15% 是乘 0.85，不能直接乘 8 或 20。
記憶提示折扣通常小於 1，漲價通常大於 1。
常見錯誤：甲先出發 1 小時，設乙出發後 t 小時追上，把甲的時間也設為 t
正確：甲走了 (t+1) 小時，乙走了 t 小時，兩人路程相等
補救：追及問題一定要分清楚「各人走了幾小時」
追及問題要分清楚誰先出發、誰後出發；先出發的人走的時間通常比較長。
記憶提示誰先出發，誰的時間就多。
濃度問題：鹽的重量 = 濃度 × 溶液重量（不是直接相加濃度）
補救：畫出「含量表」，確認方程式兩側的量是同種東西（都是鹽的克數）
做完所有練習後，把做錯的題目記下來：
| 題號 | 我的錯誤（錯誤原因或錯誤答案） | 正確解法 / 訂正 |
|---|---|---|
10任務結算
今天解鎖的技能：
- ✅ 工程問題：工作率（1/天數）相加，乘以時間等於 1
- ✅ 百分比問題：折扣和漲跌價的比率換算，設原價或現價為 x
- ✅ 混合問題：設一種數量為 x，另一種用差表示，用金額或濃度建立等式
- ✅ 相遇問題：兩速度之和 × 時間 = 總距離
- ✅ 追及問題：注意各人的時間不同，快的路程 = 慢的路程時追上
- ✅ 題型識別框架：關鍵詞 → 題型 → 設法 → 方程式
需要注意的地方：
- 工程問題用工作率相加，不是天數相加
- 百分比要轉成小數（0.x 或 1.x）
- 追及問題各人時間不同，要分別標注
- 解完一定要驗算
11晚上 15 分鐘輕量任務 回家後
不需要重新做題，翻閱講義回顧即可。
2. 把今天做錯的一題重新解一遍，找出錯誤的步驟
3. 完成課程講義未完成的部分