指數律：重複乘法的快速武器

01任務簡報

Vector 通報：

Roy，正負數乘除法的符號規則你已經掌握了。今天進入一個新武器：指數。當同一個數字重複相乘很多次，寫出來又長又容易出錯。指數就是把這個過程壓縮成簡潔的符號，讓計算變快、變清楚。學會指數律，後面的科學記號、代數運算都會用到它。

今天的目標：

理解指數的定義與表示方式
掌握指數律三大規則：同底數相乘、同底數相除、指數的指數
能正確計算含指數的基本運算
認識負數的偶次方與奇次方結果

02今日學習來源

線上課程後整理

指數律 · 國一上 1-4

單元：國一上 1-4 指數律 · 今日範圍：國一上 1-4 指數律

作業：課程講義。本講義為觀看線上課程後的重點整理，建議先看完影片再翻閱。

03觀看前任務 / 戰前情報

看課程之前，先想想這三個問題，把你的直覺答案寫下來，等等對照今天學到的規則：

Q1

2 × 2 × 2 × 2 × 2，你有沒有更快的寫法？

Q2

(−3)² 和 −3² 你覺得一樣嗎？說說你的想法。

Q3

如果 a³ × a⁴，你猜指數部分會怎麼變化？

把你的直覺答案先寫下來，看完課程後對照今天學到的規則，確認想對了幾個。

04核心技能解鎖

SKILL 01 :: 指數的定義

aⁿ 的意義

表示 n 個 a 相乘。a 叫做底數，n 叫做指數

展開範例

2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32
(−3)² = (−3) × (−3) = 9

a¹ = a

任何數的 1 次方等於它本身

a⁰ = 1（a ≠ 0）

任何非零數的 0 次方等於 1。例：5⁰ = 1，(−3)⁰ = 1

SKILL 02 :: 指數律一：同底數相乘

規則

a^m × aⁿ = a^m+n —— 底數相同，指數相加

例一

2³ × 2⁴ = 2³⁺⁴ = 2⁷

例二

(−5)² × (−5)³ = (−5)⁵

注意

底數必須完全相同才能使用此規則

SKILL 03 :: 指數律二：同底數相除

規則

a^m ÷ aⁿ = a^m−n（a ≠ 0，m > n） —— 底數相同，指數相減

例一

3⁶ ÷ 3² = 3⁶⁻² = 3⁴

例二

(−2)⁵ ÷ (−2)³ = (−2)²

SKILL 04 :: 指數律三：指數的指數

規則

(a^m)ⁿ = a^m×n —— 指數相乘

例一

(2³)⁴ = 2^3×4 = 2¹²

例二

((−3)²)³ = (−3)⁶

SKILL 05 :: 負數的指數規律

負數的偶次方 = 正數

(−2)² = 4 · (−2)⁴ = 16 （負號乘偶數次，兩兩抵消）

負數的奇次方 = 負數

(−2)³ = −8 · (−2)⁵ = −32 （多出一個負號）

(−3)² ≠ −3²，括號決定一切

(−3)² = (−3) × (−3) = 9（括號包住負號，整個 −3 做平方）
−3² = −(3 × 3) = −9（只有 3 做平方，負號在外面不動）

05補給卡

SUPPLY CARD :: MATH-W2-02 速查表

規則	說明
aⁿ 定義	n 個 a 相乘
a⁰ = 1（a ≠ 0）	任何非零數的 0 次方等於 1
a¹ = a	1 次方等於本身
同底相乘：a^m × aⁿ	= a^m+n（指數相加）
同底相除：a^m ÷ aⁿ	= a^m−n（指數相減）
指數的指數：(a^m)ⁿ	= a^m×n（指數相乘）
負數偶次方	→ 正數
負數奇次方	→ 負數
(−a)ⁿ 和 −aⁿ	不同！括號決定負號是否參與次方

06任務演練

演練一 :: 指數展開與計算

題目：計算 (−2)⁴

步驟一：展開
(−2)⁴ = (−2) × (−2) × (−2) × (−2)

步驟二：數負號個數
負號 4 個（偶數）→ 結果為正數

步驟三：計算數字
2 × 2 × 2 × 2 = 16

答案：(−2)⁴ = 16

演練二 :: 同底數相乘

題目：3² × 3⁵

步驟一：確認底數相同
底數都是 3，可以使用指數律一

步驟二：指數相加
3² × 3⁵ = 3²⁺⁵ = 3⁷

3⁷ = 2187（通常不要求算出來，保留指數形式即可）

答案：3² × 3⁵ = 3⁷

演練三 :: 指數的指數

題目：(2³)⁴

步驟一：使用指數律三
(2³)⁴ = 2^3×4

步驟二：計算指數
3 × 4 = 12

答案：(2³)⁴ = 2¹²

演練四 :: (−3)² 和 −3² 的差異

(−3)²：括號包住負號，整個 −3 做平方

(−3)² = (−3) × (−3) = 9

−3²：只有 3 做平方，負號在外面不動

−3² = −(3 × 3) = −9

Vector 說：括號的有無完全改變了答案，差了 18。這是這一課最容易踩的雷，每次看到負數的次方，先確認括號在哪裡。

07新手訓練場 5 關

從基礎到進階，逐關完成。

第一關｜指數展開

將以下各數展開（不需要計算最終數值）：

1. 3⁴ = ＿＿＿＿＿＿＿＿
2. (−2)³ = ＿＿＿＿＿＿＿＿
3. (−5)² = ＿＿＿＿＿＿＿＿
4. 10⁵ = ＿＿＿＿＿＿＿＿

第二關｜計算指數值

計算以下各式的值：

1. 2⁶ = ＿＿＿
2. (−3)² = ＿＿＿
3. (−2)⁵ = ＿＿＿
4. −3² = ＿＿＿
5. (−1)¹⁰⁰ = ＿＿＿
6. 5⁰ = ＿＿＿

第三關｜指數律應用

用指數律化簡（保留指數形式，不需計算數值）：

1. 4³ × 4⁵ = ＿＿＿
2. (−2)⁶ ÷ (−2)² = ＿＿＿
3. (3⁴)³ = ＿＿＿
4. 5² × 5³ × 5 = ＿＿＿
5. (10²)⁴ ÷ 10³ = ＿＿＿

第四關｜正負判斷

判斷以下各式的結果是正數還是負數，不需計算數值：

1. (−3)⁷ → ＿＿＿
2. (−4)⁸ → ＿＿＿
3. (−1)⁹⁹ → ＿＿＿
4. (−2)⁵⁰ → ＿＿＿
5. −(5²) → ＿＿＿
6. (−5)² → ＿＿＿

第五關｜比較大小

計算後填入＞、＜或＝：

1. (−2)³ ＿＿ −2³
2. (−3)² ＿＿ −3²
3. 2⁴ ＿＿ 4²
4. (−1)¹⁰⁰ ＿＿ (−1)⁹⁹

08 BOSSBoss 關卡

任務確認測驗｜通過才算完成 MATH-W2-02。完成前面所有練習後再挑戰。

B1｜綜合計算（需寫過程）

計算以下各題，寫出完整步驟：

1. (−3)⁴ =
2. −(2⁵) =
3. 2³ × 2⁴ ÷ 2⁵ =
4. ((−2)³)² =
5. (−1)¹ × (−1)² × (−1)³ =

B2｜指數律混合應用

化簡以下各式，保留指數形式：

1. 3⁵ × 3² ÷ 3³ =
2. (5²)³ × 5⁴ =
3. ((−2)³)² ÷ (−2)⁴ =

B3｜觀念判斷

以下說法哪些正確、哪些錯誤？說出理由。

1. 「a² × b² = (ab)²，所以 a^m × bⁿ = (ab)^m+n」
2. 「任何數的 0 次方都等於 1」
3. 「負數的平方一定是正數」
4. 「2³ × 3³ 可以用指數律合併成 6³」

B4｜情境應用

某細菌每小時分裂一次，數量變成原來的 2 倍。

1. 從 1 個細菌開始，8 小時後有幾個？用指數表示並計算。
算式：＿＿＿＿　答：＿＿＿個
2. 若一開始有 2² 個細菌，經過 3 小時後有幾個？
算式：＿＿＿＿　答：＿＿＿個

09錯題回收

這一課最容易錯的三個地方，做題前先看一遍：

雷區一｜(−a)ⁿ 和 −aⁿ 混淆
錯誤：認為 (−3)² 和 −3² 相同
正確：(−3)² = 9，−3² = −9，結果差了 18
補救：看到負數的次方，先確認負號有沒有被括號包住。

雷區二｜同底數相乘時把指數相乘
錯誤：2³ × 2⁴ = 2¹²
正確：2³ × 2⁴ = 2³⁺⁴ = 2⁷（相乘用加法）
補救：口訣「乘法加指數，次方乘指數」（加和乘對應不同規則）。

雷區三｜不同底數硬套指數律
錯誤：2³ × 3⁴ = 6⁷
正確：底數不同，不能直接合併指數
補救：使用指數律前，先確認底數是否完全相同。

做完所有練習後，把做錯的題目記下來，寫出正確解法：

題號	我的錯誤（寫下錯誤原因或錯誤答案）	正確解法 / 訂正

10任務結算

指數定義、a⁰ = 1、a¹ = a（SKILL 01） +6 XP

指數律三大規則（SKILL 02–04） +8 XP

任務演練＋新手訓練場（Section 06–07） +6 XP

本任務 XP 合計 20 XP

11晚上 15 分鐘輕量任務回家後

不需要重新做題，翻閱講義回顧即可。

今天學到的 3 個關鍵詞：

指數律三條：同底乘加，同底除減，次方乘乘
負數偶次方為正，奇次方為負
(−a)ⁿ ≠ −aⁿ，括號決定一切

今晚三個任務

1. 默寫指數律三大規則，不看筆記
2. 各出一題考自己：同底相乘、同底相除、指數的指數
3. 完成課程講義未完成的部分

Vector 說：指數律三條規則今天全部解鎖。下一關是科學記號，它會把指數律和 10 的次方結合起來用。今天打好這個基礎，下一關就不會卡。