MATH-W3-02 | 因數與倍數：數字的親戚關係
特工代號：ROY | 2026/7/1
01任務簡報
Vector 通報：
Roy，今天進入數學的另一個核心領域：因數與倍數。 這不只是記憶題，而是理解數字之間的結構關係。 質數、合數、質因數分解——這些概念是後面公因數、公倍數、分數化簡的地基。 今天把這個結構打通，後面兩週的計算會快很多。
今天的目標：
- 理解因數與倍數的定義與關係
- 能判斷一個數是否為另一個數的因數或倍數
- 理解質數與合數的定義
- 能用短除法進行質因數分解
02今日學習來源
線上課程後整理
因數與倍數 · 國一上 2-1
單元：國一上 2-1 因數與倍數 · 今日範圍：國一上 2-1 因數與倍數
作業：課程講義。本講義為觀看線上課程後的重點整理，建議先看完影片再翻閱。
03觀看前任務 / 戰前情報
看課程之前，先想想這三個問題，把你的直覺答案寫下來，等等對照今天學到的規則：
Q1
12 可以被哪些數整除？你能全部列出來嗎？
Q2
質數是什麼？2、3、4、5、6 裡面哪些是質數？
Q3
把 36 拆成質數相乘，你會怎麼拆？
把你的直覺答案先寫下來，看完課程後對照今天學到的規則，確認想對了幾個。
04核心技能解鎖
SKILL 01 :: 因數的定義
定義
若 a 能整除 b（b ÷ a 沒有餘數），則 a 是 b 的因數，b 是 a 的倍數
例一（整除）
12 ÷ 3 = 4（整除），所以 3 是 12 的因數，12 是 3 的倍數
例二（不整除）
12 ÷ 5 = 2 餘 2（不整除），所以 5 不是 12 的因數
互逆關係
「a 是 b 的因數」↔「b 是 a 的倍數」，兩句話說的是同一件事
SKILL 02 :: 找出所有因數的方法（配對法）
方法
從 1 開始逐一試除，找到一個因數，同時找到它的配對；當兩個配對數相等時停止
例：18 的所有因數
1 × 18 = 18 → 因數：1、18
2 × 9 = 18 → 因數：2、9
3 × 6 = 18 → 因數：3、6
4 不整除、5 不整除（到 √18 ≈ 4.2 停止）
18 的因數：1、2、3、6、9、18（共 6 個）
2 × 9 = 18 → 因數：2、9
3 × 6 = 18 → 因數：3、6
4 不整除、5 不整除（到 √18 ≈ 4.2 停止）
18 的因數：1、2、3、6、9、18（共 6 個）
SKILL 03 :: 質數與合數
質數
只有 1 和本身兩個因數的正整數。例：2、3、5、7、11、13、17、19……
2 是最小的質數，也是唯一的偶數質數
2 是最小的質數，也是唯一的偶數質數
合數
除了 1 和本身外，還有其他因數的正整數。例：4、6、8、9、10、12……
特別：1
1 既不是質數也不是合數（質數需要恰好有 2 個因數，1 只有 1 個）
SKILL 04 :: 質因數分解（短除法）
定義
把一個合數寫成質數相乘的形式；結果唯一（質因數分解唯一定理）
步驟
從最小的質因數開始除，一直除到商為 1，把所有除數相乘
例：分解 60
60 ÷ 2 = 30
30 ÷ 2 = 15
15 ÷ 3 = 5
5 ÷ 5 = 1
60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5
30 ÷ 2 = 15
15 ÷ 3 = 5
5 ÷ 5 = 1
60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5
SKILL 05 :: 整除判斷規則（常用）
被 2 整除
個位數是 0、2、4、6、8（偶數）
被 3 整除
各位數字之和能被 3 整除
被 5 整除
個位數是 0 或 5
被 9 整除
各位數字之和能被 9 整除
被 10 整除
個位數是 0
05補給卡
SUPPLY CARD :: MATH-W3-02 速查表
| 概念 | 說明 |
|---|---|
| 因數倍數關係 | b ÷ a 整除 → a 是 b 的因數，b 是 a 的倍數 |
| 質數（前幾個） | 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47…… |
| 1 的特殊地位 | 既不是質數也不是合數 |
| 被 2 整除 | 個位是 0、2、4、6、8 |
| 被 3 整除 | 各位數字之和能被 3 整除 |
| 被 5 整除 | 個位是 0 或 5 |
| 被 9 整除 | 各位數字之和能被 9 整除 |
| 短除法步驟 | 從最小質因數開始 → 一直除到商為 1 → 把所有除數相乘 |
| 因數個數公式 | 若 n = pa × qb，因數個數 = (a+1)(b+1) |
06任務演練
演練一 :: 列出所有因數
題目：找出 24 的所有因數
步驟一：從 1 開始配對試除
1 × 24 = 24 → 1、24
2 × 12 = 24 → 2、12
3 × 8 = 24 → 3、8
4 × 6 = 24 → 4、6
5 不整除（24 ÷ 5 = 4 餘 4）
到 √24 ≈ 4.9，5 以後的配對已找過，停止
2 × 12 = 24 → 2、12
3 × 8 = 24 → 3、8
4 × 6 = 24 → 4、6
5 不整除（24 ÷ 5 = 4 餘 4）
到 √24 ≈ 4.9，5 以後的配對已找過，停止
步驟二：整理排列
答案：24 的因數：1、2、3、4、6、8、12、24（共 8 個）
演練二 :: 質因數分解（短除法）
題目：分解 84
2 | 84
2 | 42
3 | 21
7 | 7
1
2 | 42
3 | 21
7 | 7
1
答案：84 = 2 × 2 × 3 × 7 = 2² × 3 × 7
驗證：2² × 3 × 7 = 4 × 3 × 7 = 4 × 21 = 84 ✓
演練三 :: 整除判斷應用
題目：判斷 2,358 能被 2、3、5、9 中哪些整除？
被 2 整除？個位數是 8（偶數）→ 能整除
被 3 整除？2＋3＋5＋8 = 18，18 ÷ 3 = 6 → 能整除
被 5 整除？個位數是 8，不是 0 或 5 → 不能整除
被 9 整除？各位數和 18，18 ÷ 9 = 2 → 能整除
被 3 整除？2＋3＋5＋8 = 18，18 ÷ 3 = 6 → 能整除
被 5 整除？個位數是 8，不是 0 或 5 → 不能整除
被 9 整除？各位數和 18，18 ÷ 9 = 2 → 能整除
答案：2,358 能被 2、3、9 整除，不能被 5 整除
演練四 :: 生活情境
題目：Roy 有 48 顆糖，想要平均分給若干個朋友，每人分到的顆數要一樣多且沒有剩餘。他可以分給幾個朋友？
分析：這就是找 48 的因數。
步驟：先做質因數分解
2 | 48 → 48 = 24 × 3
2 | 24
2 | 12
2 | 6
3 | 3
1
2 | 24
2 | 12
2 | 6
3 | 3
1
答案：48 的因數：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48，可以分給其中任一個數量的朋友。
Vector 說：「平均分配且沒有剩餘」是因數問題的標誌語，看到這個描述就想到因數。
07新手訓練場 5 關
從基礎到進階，逐關完成。
第一關｜因數倍數判斷
判斷以下各題是否正確（O／X）：
1. 7 是 56 的因數。（ ）
2. 45 是 5 的倍數。（ ）
3. 4 是 30 的因數。（ ）
4. 11 是 88 的因數。（ ）
5. 72 是 8 的倍數。（ ）
6. 9 是 75 的因數。（ ）
2. 45 是 5 的倍數。（ ）
3. 4 是 30 的因數。（ ）
4. 11 是 88 的因數。（ ）
5. 72 是 8 的倍數。（ ）
6. 9 是 75 的因數。（ ）
第二關｜列出所有因數
列出以下各數的所有因數：
1. 20 的因數：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（共＿＿個）
2. 36 的因數：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（共＿＿個）
3. 50 的因數：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（共＿＿個）
2. 36 的因數：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（共＿＿個）
3. 50 的因數：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（共＿＿個）
第三關｜質數合數判斷
判斷以下各數是質數（P）、合數（C）還是兩者都不是（N）：
1. 1 （ ）
2. 17 （ ）
3. 21 （ ）
4. 37 （ ）
5. 49 （ ）
6. 51 （ ）
7. 2 （ ）
8. 91 （ ）
2. 17 （ ）
3. 21 （ ）
4. 37 （ ）
5. 49 （ ）
6. 51 （ ）
7. 2 （ ）
8. 91 （ ）
第四關｜質因數分解
用短除法分解以下各數，寫出完整過程：
1. 45 = ＿＿＿＿＿＿＿＿
2. 72 = ＿＿＿＿＿＿＿＿
3. 100 = ＿＿＿＿＿＿＿＿
4. 126 = ＿＿＿＿＿＿＿＿
2. 72 = ＿＿＿＿＿＿＿＿
3. 100 = ＿＿＿＿＿＿＿＿
4. 126 = ＿＿＿＿＿＿＿＿
第五關｜整除判斷
判斷 5,184 能被以下哪些數整除，說出判斷依據：
1. 被 2 整除？（ ）依據：＿＿＿＿＿＿＿＿
2. 被 3 整除？（ ）依據：＿＿＿＿＿＿＿＿
3. 被 5 整除？（ ）依據：＿＿＿＿＿＿＿＿
4. 被 9 整除？（ ）依據：＿＿＿＿＿＿＿＿
2. 被 3 整除？（ ）依據：＿＿＿＿＿＿＿＿
3. 被 5 整除？（ ）依據：＿＿＿＿＿＿＿＿
4. 被 9 整除？（ ）依據：＿＿＿＿＿＿＿＿
08 BOSSBoss 關卡
任務確認測驗｜通過才算完成 MATH-W3-02。完成前面所有練習後再挑戰。
B1｜質因數分解應用
分解以下各數，並用指數表示：
1. 120 = ＿＿＿＿＿＿＿＿
2. 180 = ＿＿＿＿＿＿＿＿
3. 252 = ＿＿＿＿＿＿＿＿
2. 180 = ＿＿＿＿＿＿＿＿
3. 252 = ＿＿＿＿＿＿＿＿
B2｜因數個數計算
利用質因數分解，計算因數個數。
規則：若 n = pa × qb × rc，則因數個數 = (a+1)(b+1)(c+1)
1. 36 = 2² × 3²，因數個數 = (2+1)(2+1) = ＿＿個
2. 72 = 2³ × 3²，因數個數 = ＿＿＿＿＿ = ＿＿個
3. 100 = 2² × 5²，因數個數 = ＿＿＿＿＿ = ＿＿個
2. 72 = 2³ × 3²，因數個數 = ＿＿＿＿＿ = ＿＿個
3. 100 = 2² × 5²，因數個數 = ＿＿＿＿＿ = ＿＿個
B3｜觀念判斷
以下說法哪些正確、哪些錯誤？說出理由。
1. 「所有偶數都不是質數」
判斷：＿＿ 理由：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
2. 「一個數的因數一定比這個數小」
判斷：＿＿ 理由：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
3. 「質因數分解的結果是唯一的」
判斷：＿＿ 理由：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
判斷：＿＿ 理由：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
2. 「一個數的因數一定比這個數小」
判斷：＿＿ 理由：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
3. 「質因數分解的結果是唯一的」
判斷：＿＿ 理由：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
B4｜情境應用
Roy 要把 90 片餅乾和 60 顆糖果，分成份數相同的袋子，每袋餅乾和糖果數量都要相同且沒有剩餘。
提示：找 90 和 60 的公因數中最大的那個（最大公因數）
1. 先做質因數分解：
90 = ＿＿＿＿＿＿ 60 = ＿＿＿＿＿＿
最多可以分成＿＿＿袋
2. 若分成最多袋，每袋各有幾片餅乾和幾顆糖果？
餅乾：＿＿＿片 糖果：＿＿＿顆
1. 先做質因數分解：
90 = ＿＿＿＿＿＿ 60 = ＿＿＿＿＿＿
最多可以分成＿＿＿袋
2. 若分成最多袋，每袋各有幾片餅乾和幾顆糖果？
餅乾：＿＿＿片 糖果：＿＿＿顆
09錯題回收
這一課最容易錯的三個地方，做題前先看一遍：
雷區一｜誤以為 1 是質數
錯誤：1 是質數，因為它只能被 1 整除
正確：1 既不是質數也不是合數；質數需要「恰好有兩個因數」，而 1 只有一個因數
補救：記住「質數的因數個數恰好是 2 個（1 和本身）」，1 的因數只有 1 個，不符合。
錯誤：1 是質數，因為它只能被 1 整除
正確：1 既不是質數也不是合數；質數需要「恰好有兩個因數」，而 1 只有一個因數
補救：記住「質數的因數個數恰好是 2 個（1 和本身）」，1 的因數只有 1 個，不符合。
雷區二｜短除法沒有除到底
錯誤：60 = 4 × 3 × 5（4 不是質數，沒除完）
正確：60 = 2² × 3 × 5（每個因數都必須是質數）
補救：分解完成後，檢查每一個因數是否都是質數。
錯誤：60 = 4 × 3 × 5（4 不是質數，沒除完）
正確：60 = 2² × 3 × 5（每個因數都必須是質數）
補救：分解完成後，檢查每一個因數是否都是質數。
雷區三｜找因數時遺漏
常見：找 36 的因數時漏掉 6（因為 6 × 6 = 36）
正確：36 的因數有 1、2、3、4、6、9、12、18、36
補救：用配對法，當兩個配對數相等時（√36 = 6）才停止，且要包含那個相等的數本身。
常見：找 36 的因數時漏掉 6（因為 6 × 6 = 36）
正確：36 的因數有 1、2、3、4、6、9、12、18、36
補救：用配對法，當兩個配對數相等時（√36 = 6）才停止，且要包含那個相等的數本身。
做完所有練習後，把做錯的題目記下來，寫出正確解法：
| 題號 | 我的錯誤（寫下錯誤原因或錯誤答案） | 正確解法 / 訂正 |
|---|---|---|
10任務結算
因數倍數定義與配對法（SKILL 01–02）
+6 XP
質數合數 ＋ 短除法質因數分解（SKILL 03–04）
+8 XP
任務演練 ＋ 新手訓練場（Section 06–07）
+6 XP
本任務 XP 合計
20 XP
11晚上 15 分鐘輕量任務 回家後
不需要重新做題，翻閱講義回顧即可。
今天學到的 3 個關鍵詞：
- 因數 / 倍數：b ÷ a 整除 → a 是因數，b 是倍數
- 1 不是質數也不是合數；2 是唯一的偶數質數
- 短除法要除到商為 1，每個除數都必須是質數
今晚三個任務
1. 不看筆記，列出 1 到 30 之間所有的質數
2. 用短除法分解 48，寫出完整過程
3. 完成課程講義未完成的部分
2. 用短除法分解 48，寫出完整過程
3. 完成課程講義未完成的部分
Vector 說：因數與倍數是分數運算的基礎。下週公因數和公倍數、分數加減都要用到今天學的質因數分解。現在把短除法練熟，後面省很多時間。