01任務簡報
Vector 通報：
Roy，上週你學會了因數、倍數和質因數分解。
今天把這個工具升級：兩個數的「共同因數」和「共同倍數」。
最大公因數（GCF）和最小公倍數（LCM）是分數化簡和通分的核心工具。
下週的分數加減法直接用到今天的技術。
今天打通，下週不會卡。
今天的目標：
- 理解公因數和最大公因數的定義
- 理解公倍數和最小公倍數的定義
- 能用短除法或質因數分解法求 GCF 和 LCM
- 能應用 GCF 和 LCM 解決生活情境問題
02今日學習來源
03觀看前任務 / 戰前情報
看課程之前，先想想這三個問題，把你的直覺答案寫下來，等等對照今天學到的規則：
04核心技能解鎖
18 的因數：1、2、3、6、9、18
公因數：1、2、3、6
最大公因數 GCF(12, 18) = 6
2 | 24 18
3 | 12 9
4 3 ← 4 和 3 互質，停止
GCF = 2 × 2 × 3 = 12
6 的倍數：6、12、18、24……
公倍數：12、24、36……
最小公倍數 LCM(4, 6) = 12
3 | 6 9
2 3 ← 2 和 3 互質，停止
LCM = 2 × 3 × 2 × 3 = 36
LCM：至少一數能整除就除，另一數直接抄下
05補給卡
| 概念 | 說明 |
|---|---|
| 公因數 | 兩數共同的因數 |
| 最大公因數（GCF） | 公因數中最大的；短除法：兩數都整除才除，商互質停止，乘積 = GCF |
| 公倍數 | 兩數共同的倍數 |
| 最小公倍數（LCM） | 公倍數中最小的（不含0）；短除法：至少一數整除就除，不整除的抄下，商互質停止，除數 × 商 = LCM |
| 關係式 | GCF(a, b) × LCM(a, b) = a × b |
| 應用判斷 |
平均分配、等份、最長 → GCF（縮小，找共同部分） 同時發生、最短時間、通分 → LCM（擴大，找共同倍數） |
06任務演練
題目：求 GCF(60, 84)
2 | 30 42
3 | 15 21
5 7 ← 5 和 7 互質，停止
GCF(60, 84) = 2 × 2 × 3 = 12
驗證：60 ÷ 12 = 5 ✓ | 84 ÷ 12 = 7 ✓ | 5 和 7 互質 ✓
題目：求 LCM(8, 12)
2 | 4 6
2 | 2 3 ← 2 不能整除 3，3 直接抄下
3 | 1 3
1 1 ← 全為 1，停止
LCM(8, 12) = 2 × 2 × 2 × 3 = 24
驗證：24 ÷ 8 = 3 ✓ | 24 ÷ 12 = 2 ✓
題目：求 GCF(24, 36) 和 LCM(24, 36)
2 | 12 18
3 | 6 9
2 3 ← 互質，停止
GCF(24, 36) = 2 × 2 × 3 = 12
LCM(24, 36) = 2 × 2 × 3 × 2 × 3 = 72
驗證關係式：GCF × LCM = 12 × 72 = 864 = 24 × 36 = 864 ✓
題目一（用 GCF）：Roy 有 48 顆蘋果和 36 顆橘子，想要平均分成幾份，每份蘋果和橘子的數量都要相同且不剩餘。最多可以分成幾份？
分析：找 48 和 36 的最大公因數
GCF(48, 36) = 12 → 最多可以分成 12 份
每份：蘋果 48 ÷ 12 = 4 顆，橘子 36 ÷ 12 = 3 顆
題目二（用 LCM）：公車 A 每 8 分鐘一班，公車 B 每 12 分鐘一班，兩路公車同時從車站出發，下一次同時出發是幾分鐘後？
分析：找 8 和 12 的最小公倍數
LCM(8, 12) = 24 → 24 分鐘後，兩路公車再次同時出發
Vector 說：「平均分配、不剩餘、最多」→ GCF；「同時、幾分後再次」→ LCM。先判斷問的是「縮小還是擴大」。
07新手訓練場 5 關
從基礎到進階，逐關完成。
16 的因數：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
24 的因數：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
公因數：＿＿＿＿＿＿ GCF = ＿＿＿
2. 30 和 45
30 的因數：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
45 的因數：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
公因數：＿＿＿＿＿＿ GCF = ＿＿＿
1. GCF(56, 42)
= ＿＿＿＿
2. GCF(72, 90)
= ＿＿＿＿
3. GCF(100, 75)
= ＿＿＿＿
1. LCM(6, 10)
= ＿＿＿＿
2. LCM(9, 15)
= ＿＿＿＿
3. LCM(14, 21)
= ＿＿＿＿
驗證：GCF × LCM = ＿＿ = 20 × 30 = ＿＿（是否相等？＿＿）
2. GCF(18, 24) = ＿＿ LCM(18, 24) = ＿＿
驗證：GCF × LCM = ＿＿ = 18 × 24 = ＿＿（是否相等？＿＿）
用 ＿＿＿
2. 燈 A 每 4 秒閃一次，燈 B 每 6 秒閃一次，同時閃後，下一次同時閃是幾秒後？
用 ＿＿＿
3. 想把 48 個蘋果和 72 個橘子平均分組，每組水果種類和數量都相同，最多分幾組？
用 ＿＿＿
08 BOSSBoss 關卡
1. GCF(96, 144) 和 LCM(96, 144)
GCF = ＿＿＿ LCM = ＿＿＿
2. GCF(105, 140) 和 LCM(105, 140)
GCF = ＿＿＿ LCM = ＿＿＿
（提示：使用 GCF × LCM = a × b）
算式： 答： 天後
2. 下一次同時活動是幾月幾日？
答： 月 日
3. 到 7 月底（7/31）為止，兩個社團共同活動過幾次（含 7/1）？
答： 次
判斷：＿＿ 理由：
2. 「兩個質數的最大公因數一定是 1。」
判斷：＿＿ 理由：
3. 「兩數的最小公倍數一定大於兩數。」
判斷：＿＿ 理由：
09錯題回收
這一課最容易錯的三個地方，做題前先看一遍：
錯誤：兩數的商還有公因數時就停下來
正確：當兩數的商互質（GCF = 1）才停止
補救：停下來前，檢查兩個商有沒有除 1 以外的公因數
錯誤：某數不能被質數整除時，仍然強行做除法
正確：不能整除的數直接「抄下來」，只有能整除的數才做除法
補救：每一步都確認「這個質數能整除哪幾個數」，不能整除的照原樣寫
平均分配、等份、最長 → GCF（縮小，找共同部分）
同時發生、最短時間、通分 → LCM（擴大，找共同倍數）
補救：先判斷問題問的是「多少份（縮小）」還是「幾分後（擴大）」
做完所有練習後，把做錯的題目記下來，寫出正確解法：
| 題號 | 我的錯誤（寫下錯誤原因或錯誤答案） | 正確解法 / 訂正 |
|---|---|---|
10任務結算
11晚上 15 分鐘輕量任務 回家後
不需要重新做題，翻閱講義回顧即可。
今天學到的 3 個關鍵詞：
- GCF 短除法：兩數都能整除才除；商互質停止；除數乘積 = GCF
- LCM 短除法：至少一數能整除就除；不整除的抄下來；除數 × 最後商 = LCM
- 關係式：GCF × LCM = a × b（可以驗證，也可以反推）
2. 自出一題：兩個數字，分別用短除法求 GCF 和 LCM，再用關係式驗證
3. 完成課程講義未完成的部分